Термодинамика, энтропия и равновесие. Часть 1.

Концепция температуры и энтропии хорошо разработана в термодинамике. Однако, когда термодинамика только нарождалась, эти концепции еще не были проработаны. Чтобы получить основу для дальнейших разработок аналогий между термодинамикой и экономикой, мы приведем здесь краткое обозрение некоторых ключевых идей термодинамики.

Термодинамика изучает трансформацию тепла в механическую работу и начинает свое существование с работы Карно (1824), который ввел в оборот принцип ограниченности величины работы производимой тепловой энергией при заданных условиях. Обоснование, предложенное Карно для этого принципа, «должно рассматриваться как один из самых замечательных триумфов дедуктивного метода».

Карно рассматривал эффективность тепловых машин. Он обнаружил, что для тепловой машины, работающей между двух близких значений температур, оптимальная эффективность (отношение полезной работы и тепловой энергии, поставляемой нагревающим резервуаром) пропорциональна разнице температур, умноженной на неизвестную, но универсальную функцию средней температуры. Размышления Карно стали базисом второго закона термодинамики. Замечательно, что это вывод был сделан задолго до того, как Джеймс Джоуль в своих экспериментах (1845) обнаружил, что тепло есть энергия (теперь это утверждение известно как первый закон термодинамики).

Согласно Джоулю, система с фиксированным числом частиц может изменять свою энергию всего двумя путями: тепло dQ может поступать в систему или работа dW может совершаться системой или над системой. Закон сохранения энергии для этой системы может быть записан в виде:

Следуя разработкам Карно, мы можем показать, что в условиях равновесия dQ = T dS. Здесь Т есть температура, а энтропия S является функцией состояния системы. Следовательно, dS = dQ / T есть настоящий дифференциал. Потребовалось 30 лет, чтобы осознать это, а затем вывести это простое, но не тривиальное выражение. И поскольку работа, совершенная системой, может быть записана так: dW = – P dV, то закон сохранения энергии принимает форму:

Хотя энергия термодинамической системы определяется однозначно, ее тепловой элемент (интеграл от dQ) и компонент работы (интеграл от – P dV) – нет. Система может пройти из одного энергетического состояния в другое через бесконечное множество процессов, где вклад работы и тепла могут различаться. Таким образом, ни dQ, ни dW не являются полными дифференциалами. Однако dW/P = – dV и dQ / T = dS суть полные дифференциалы.

Наконец, если частицы могут попадать в систему или покидать ее в количестве dN, тогда появляется изменение энергии вида μ dN. Добавление этого компонента в фундаментальное уравнение термодинамики дает нам: